理學部數學科

數學セミナーの例

~分割數について~ (代數分野)

自然數 nの分割とは、nをいくつかの自然數の和因子の和で書いたものとして、定義します。ただし、和因子は大きい順に並べ なくてはいけません。例えば、4の分割は4,3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1の5通りです。これらの自然數の分割はヤング図形というものと同じで、表現論という分野と関係しています。また、自然數 nの分割の個數のことを分割數といいますが、これについては、以下のことが知られています。
數學の理論を用いると、一般に、5で割ると4余る自然數5k+4の分割數は5の倍數であることが証明できます。また、自然數 nの分割數を p(n) と表すと limn→∞ (log p(n))2n=(2/3)π2が 成り立ちます。円周の長さや円の面積に無関係な左辺の極限値が、実は円周率πを用いて表せるなんて、不思議ではありませんか?この他にも、分割數にはさま ざまな美しい性質があります。セミナーでは、分割數を計算したり、テキストの中の分割數に関する公式や定理およびそれらの証明について學びます。

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~種々の幾何學について~ (幾何分野)

2點間の距離と言えば、自然にユークリッド距離のことを指し、2點を結ぶ最短線の長さとして捉えます。しかしこれは平面地図上の考えで、東京とニューヨークを地図上で結ぶ道のりは、地球の表面に沿って飛行機で実際に飛ぶ道のりよりはるかに大きい(燃料消費量が多い)ことがわかります。距離(近さ)の概念を一般化することにより大學の幾何學は大きく微分幾何學と代數位相幾何學(トポロジー)に分かれます。前者は近さを計量という概念で捉え、解析的に図形を研究する學問で伝統的にリーマン幾何學と言います。ユークリッド幾何はその一つです。(つまり內角の和が180°より大きな三角形、180°より小さな三角形が出現する幾何學等も存在するということです。ちょうど逆さの円錐を平面でカットしたとき、切り口に放物線、楕円、雙曲線がそれぞれ出てくることに対応します。)後者は近さを位置として捉え、代數的に図形を研究する學問であり、伝統的にホモロジー?ホモトピー論と呼ばれます。この世界では、時間とともに連続変形して円板が1點(原點)になるので、円板と1點は同じです。しかしメガネと円周は違います。セミナーでは、図形?空間に実質的な同値関係を與えて様々な幾何學を自由に展開します。

數學セミナー1

~微分方程式とその応用~ (解析分野)

私たちの身の回りには、微分方程式を用いた數理モデルで解析できる現象がたくさんあります。 容器の中のバクテリアはどのように増殖していくか?3Dテレビなどの耐久消費財の販売臺數はどのように伸びるか?惑星はどのような軌道を描いて運動するか?丸い太鼓と四角い太鼓はどのように違う音を出すか?これらはいずれも典型的な微分方程式の問題として捉えることができます。セミナーでは、テキストの講読を通して、微分方程式の基礎理論を身につけるとともに、自然現象や社會現象の解析への応用を學びます。例えば、惑星の運動の章では、太陽の周りを惑星は楕円軌道を描くというケプラーの第1法則、公転速度や公転周期に関するケプラーの第2、第3法則を數學を使って証明します。

數學セミナー2

~統計科學とデータ解析~ (統計分野)

様々な現象の情報源であるデータから有用な情報を抽出して、自然現象、社會現象を解明するために用いられる統計データ解析手法について學びます。特に、データの可視化、確率?統計の基礎概念、様々な確率分布モデルとその性質、推定?検定などの統計的推測論について學ぶとともに、高次元空間に散らばるデータの特徴を把握し分析するための多変量データ解析の理論および方法論 を身につけます。適用例として、
①緯度、経度、標高などの位置情報からの、ある月の最低気溫の推定
②検査データに基づく、どの癥候群に屬するかの判定
③學力テストの結果や身體?體力測定値などからの新たな総合指標の開発と有益な情報の抽出
などが挙げられ、さらに保険數理、生命科學などのデータの分析に応用します。 計算機による実習を取り入れ、ExcelやRを用いたデータ解析を行います。

數學セミナー3

~情報処理~ (情報分野)

「情報処理技術者試験」は経済産業省が行う、情報処理の知識と技術に関する國家試験です。 その中から基本情報技術者試験を取り上げ、試験問題を通して、Cプログラミングおよびパソコン利用技術を學習します。 プログラムやフローチャート(流れ図)を読み解くには、數學の論理力が役に立ちます。 毎年、IT分野への就職希望者が多く集まるセミナーの一つになっています。

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